آزمون کروسکال والیس Kruskal-Wallis H Test با نرم افزار SPSS

 Kruskal-Wallis 

دریافت مجموعه آموزش آزمون‌های ناپارامتری

شامل 350 دقیقه ویدئو، فایل دیتا و نتایج SPSS

 

به عنوان مثال می‌توان از آزمون Kruskal-Wallis جهت بررسی عملکرد امتحان، که در مقیاس پیوسته از 0 تا 100 اندازه‌گیری شده است، بر سطوح متفاوت اضطراب، استفاده کرد. در اینجا کمیت وابسته «عملکرد امتحان» و کمیت مستقل “سطح اضطراب امتحان” است که دارای سه گروه مستقل کم، متوسط و زیاد می‌باشد.

همچنین می‌توانید از این آزمون برای درک اینکه آیا نگرش نسبت به تبعیض حقوق پرداختی، (نگرش‌ها در مقیاس ترتیبی پنج رتبه‌ای از کاملاً موافقم تا کاملاً مخالفم اندازه‌گیری می‌شوند)، بر اساس موقعیت شغلی افراد متفاوت است یا خیر؟ در این مثال نیز کمیت وابسته «نگرش نسبت به تبعیض پرداخت» است و کمیت مستقل «موقعیت شغل» است که دارای سه گروه مستقل کارمند، مدیر و هیئت مدیره است.

انجام هر آزمون و تحلیل آماری نیاز به برقراری تعدادی پیش فرض و چارچوب‌های آنالیز دارد. بنابراین در ابتدا مناسب است درباره‌ی این موضوع صحبت کنیم.

پیش فرض‌های آزمون کروسکال والیس

 Assumptions 

قبل از اینکه بخواهیم درباره‌ی نحوه انجام آزمون کروسکال والیس در نرم‌افزار SPSS صحبت کنیم، پیش فرض‌های مختلفی را توضیح می‌دهیم که لازم است داده‌های شما با آن‌ها مطابقت داشته باشند تا آزمایش Kruskal-Wallis H نتیجه معتبری به شما بدهد. این پیش فرض‌ها به صورت زیر هستند.

کمیت وابسته شما باید در مقیاس ترتیبی یا پیوسته اندازه‌گیری شود. نمونه‌هایی از کمیت‌های ترتیبی شامل طیف لیکرت (مثلاً مقیاس 5 گزینه‌ای از کاملاً موافقم تا کاملاً مخالفم). نمونه‌هایی از کمیت‌های پیوسته عبارتند از زمان (اندازه‌گیری شده بر حسب ساعت)، هوش (اندازه‌گیری شده با استفاده از نمره IQ)، عملکرد در یک آزمون (از 0 تا 100)، وزن (بر حسب کیلوگرم).

کمیت مستقل شما باید از دو یا چند گروه طبقه‌بندی شده و مستقل تشکیل شده باشد. نمونه کمیت‌های مستقلی که این معیار را برآورده می‌کنند شامل سطع فعالیت بدنی (بسیار کم تحرک، کم، متوسط و بالا)، حرفه پزشکی (جراح، پزشک، پرستار، دندانپزشک، درمانگر) است.

مشاهدات باید از یکدیگر مستقل باشند، به این معنی که هیچ رابطه‌ای بین مشاهدات در هر گروه یا بین خود گروه‌ها وجود نداشته باشد. برای مثال، باید در هر گروه شرکت‌کنندگان متفاوتی وجود داشته باشد و هیچ شرکت‌کننده‌ای در بیش از یک گروه نباشد. این پیش فرض بیشتر یک موضوع طراحی مطالعه است تا چیزی که بتوانید آن را آزمایش کنید. اگر مطالعه شما این پیش فرض را تایید نمی‌کند، باید از آزمون آماری دیگری به جای Kruskal-Wallis استفاده کنید (مثلاً آزمون فریدمن).

از آنجایی که آزمون Kruskal-Wallis H نرمال بودن داده‌ها را در نظر نمی‌گیرد و نسبت به داده‌های پرت کمتر حساس است، می‌توان از آن هنگامی که که این مفروضات نقض شده باشند و استفاده از ANOVA نامناسب باشد، استفاده کرد.

با این حال، برای اینکه بدانید چگونه نتایج آزمون کروسکال والیس را تفسیر کنید، باید تعیین کنید که آیا توزیع داده‌ها در هر گروه از کمیت مستقل، شکل یکسانی دارند یا خیر. برای درک بهتر به نمودار زیر نگاه کنید.

در نمودار سمت چپ، توزیع نمرات برای هر کدام از گروه‌ها (قومیت‌ها) شکل یکسانی دارد. با این حال، در نمودار سمت راست، توزیع داده‌ها در هر گروه از گروه دیگر متفاوت است و شکل همانندی ندارد.

وقتی داده‌های خود را تحلیل می‌کنید، اگر توزیع داده‌ها شکل مشابهی دارند، می‌توانید از آزمون Kruskal-Wallis H جهت مقایسه میانه‌های کمیت وابسته در هر گروه استفاده کنید. با این حال، اگر توزیع‌ها شکل متفاوتی دارند، فقط می‌توانید از این آزمون برای مقایسه میانگین رتبه‌ها Mean Rank استفاده کنید.

مثال آزمون کروسکال والیس

 Example 

محققی می خواهد به بررسی درصد موفقیت درمان، پنج نوع مختلف سیکل های درمانی بپردازد. او داده‌های مربوط به ماه‌های مختلف را بررسی کرده و در فایل دیتا Kruskal-Wallis H Test جمع‌آوری کرده است. در تصویر زیر می‌توانید بخشی از داده‌ها را مشاهده کنید.

در داده‌های بالا درصد موفقیت، کمیت وابسته است که با نام Rate آمده است. داده‌های کمیت مستقل نیز که به صورت گروه‌های‌ سیکل درمانی قرار گرفته، در ستون با نام Cycle دیده می‌شود.

خب حال موضوعی که وجود دارد و من در پیش فرض شماره (4) بالا به آن پرداختم، به دست آوردن شکل توزیع داده‌ها در بین گروه‌های کمیت مستقل است. این کار به من کمک می‌کند تا بدانم چه نتیجه‌ای از آزمون کروسکال والیس برایم به دست می‌آید و تفسیر نتایج آن چیست.

برای انجام این کار کافی است، هیستوگرام داده‌ها را رسم کنید. در لینک (رسم هیستوگرام Histogram با نرم‌افزار SPSS) می‌توانید آموزش رسم هیستوگرام را مشاهده کنید.

من در شکل زیر نمودار فراوانی درصد موفقیت به ازای هر کدام از سیکل‌های درمانی را رسم کرده‌ام.

آنچه که از گراف بالا به دست می‌آید این است که توزیع داده‌های درصد موفقیت در بین هر کدام از سیکل‌های درمانی متفاوت با هم است و شکل هیستوگرام آن‌‌ها تا حدی مشابه با هم نیست. بنابراین می‌توانیم بگوییم که از آزمون Kruskal-Wallis جهت مقایسه میانگین‌های رتبه‌ای درصد موفقیت در گروه‌ها استفاده می‌کنیم.

یک نکته دیگری نیز که خوب است به آن بپردازیم این است که داده‌های موفقیت در برخی از سیکل‌های درمانی فاقد توزیع نرمال است. چنانچه علاقمند بودید با استفاده از لینک (آزمون نرمال بودن داده ها Normality Test در نرم افزار SPSS) می‌توانید فرضیه نرمال بودن داده‌ها را آزمون کنید.

جهت انجام تحلیل ناپارامتری کروسکال والیس دو مسیر و رویه جداگانه در نرم‌افزار SPSS وجود دارد. من در ادامه هر یک را توضیح می‌دهم.

 Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → K Independent Samples 

با استفاده از مسیر بالا، پنجره زیر با نام Tests for Several Independent Samples برای ما باز می‌شود.

در این پنجره که مربوط به تنظیمات آزمون‌های ناپارامتری k نمونه مستقل در نرم‌افزار SPSS است، داده‌‌‌های Success rate در کادر Test Variable List قرار می‌گیرد. همچنین ستون Cycle که در آن نوع سیکل درمانی را مشخص کردیم، در بخش Grouping Variable قرار می‌گیرد. در اینجا لازم است با استفاده از دکمه به نرم‌افزار کدهای 1 تا 5 که با استفاده از آن انواع مختلف سیکل درمانی را تعریف کردیم، معرفی کنیم.

چنانچه علاقمند باشیم برخی از آماره‌های توصیفی نیز برای ما ارایه شود، می‌توانیم از دکمه وارد پنجره زیر شویم و گزینه‌های Descriptive و Quartiles را انتخاب کنیم.

خب، حال OK‌ کنید و در ادامه نتایج و خروجی‌های نرم‌افزار SPSS که با استفاده از مسیر بالا به انجام آزمون کروسکال والیس پرداختیم را مشاهده کنید.

نتایج آزمون کروسکال والیس

 Results 

در پنجره Output می‌توانید خروجی‌های به دست آمده از آزمون ناپارامتری Kruskal-Wallis H را ببینید.

در ابتدای نتایج، جدول Descriptive Statistics آمده است. در تصویر زیر آن را می‌بینید.

آماره‌های توصیفی این جدول بدون در نظر گرفتن گروه‌های سیکل درمانی، بر روی همه داده‌ها (36 مورد) به دست آمده است. نتایج مربوط به Cycle آن نیز قابل اعتنا نیست و به نظرم از ایرادات نرم‌افزار SPSS است که برای یک Variable از نوع گروه‌بندی شده Nominal آماره‌های توصیفی ارایه می‌دهد. صرفاً در جدول Descriptive Statistics بالا نتایج مربوط به سطر Success rate برای ما معتبر است.

جدول بعدی در خروجی‌های نرم‌افزار، با نام Ranks Table قرار دارد. در تصویر زیر آن را ببینید.

جدول بالا که از آن با نام جدول رتبه‌ها Ranks Table یاد می‌شود، خروجی آزمون Kruskal-Wallis H را ارایه می‌دهد. میانگین رتبه Mean Ranks و مجموع رتبه‌ها Sum of Ranks را برای پنج گروه مورد آزمایش (گروه‌های سیکل درمانی) نشان می‌دهد.

شاید برای شما این سوال پیش بیاید که منظور از رتبه‌ها و میانگین و مجموع آن‌ها چیست؟

من پاسخ به این سوال را به صورت کامل در کتاب روش‌‌های پیشرفته آماری و کاربردهای آن داده‌ام. علاقمند بودید به فصل دهم این کتاب مراجعه کنید.

جدول بالا بسیار مفید است زیرا نشان می‌دهد که کدام گروه را می‌توان دارای درصد موفقیت بالاتری در نظر گرفت، این همان گروهی است که بالاترین میانگین رتبه را دارد. در این مثال، سیکل درمانی (D) بالاترین و (B) کمترین درصد موفقیت را داشته است.

در نهایت در خروجی‌های نرم‌افزار جدول دیگری با نام Test Statistics دیده می‌شود.

در این جدول می‌توانیم به فرضیه برابر بودن درصد موفقیت در سیکل‌های درمانی پاسخ دهیم. قبلاً و بر مبنای عدم مشابه بودن توزیع داده‌های درصد در پنج گروه مورد بررسی، نشان دادیم که آزمون کروسکال والیس فرضیه برابر بودن میانگین‌های رتبه‌ای را تست می‌کند.

نتیجه جدول بالا نشان‌دهنده وجود اختلاف معنادار در میانگین رتبه‌ای درصد موفقیت بین سیکل‌های درمانی است $ \displaystyle \left( {H=12.247,\begin{array}{*{20}{c}} {} & {P-value=0.016} \end{array}} \right)$ .

خب، حال بیایید از مسیر دیگری به بیان تحلیل ناپارامتری کروسکال والیس بپردازیم. این مسیر در ورژن‌های جدید نرم‌افزار SPSS قرار داده شده است و به نظر دارای نتایج و خروجی‌های بیشتری است.

 Analyze → Nonparametric Tests → Independent Samples 

هنگامی که از مسیر بالا جهت انجام آزمون‌های ناپارامتری در نمونه‌های مستقل استفاده می‌کنیم، پنجره زیر با نام Nonparametric Tests Two or More Independent Samples برای ما باز می‌شود. در تصویر زیر آن را ببینید.

ما با استفاده از این مسیر و پنجره تنظیمات بالا، نه فقط می‌توانیم آزمون کروسکال والیس که به بررسی دو یا چند گروه مستقل از یکدیگر می‌پردازد را انجام دهیم، بلکه قادر هستیم که آزمون‌های ناپارامتری دیگری را نیز انجام دهیم. در ادامه به توضیح هر کدام از بخش‌ها و تب‌های این پنجره می‌پردازیم.

Objective

 در این تب سه گزینه وجود دارد. انتخاب هر کدام به شما اجازه می‌دهد که هدف از آزمون ناپارامتری خود را مشخص کنید.

• Automatically compare distributions across groups

با انتخاب این گزینه به نرم‌افزار اجازه می‌دهیم، بر مبنای تعداد گروه‌های مستقل مثال، آزمون مناسب را انتخاب کند. بر این مبنا نرم‌افزار، آزمون Mann-Whitney U را برای داده‌های دارای 2 گروه مستقل و ANOVA یک طرفه Kruskal-Wallis را برای داده‌های با k گروه مستقل، اعمال می‌کند. معمولاً به صورت پیش‌فرض همین گزینه را می‌پذیریم.

• Compare medians across groups

با انتخاب این گزینه، آزمون میانه برای مقایسه میانه‌های مشاهده شده در گروه‌ها استفاده می‌شود. این گزینه برای حالتی مناسب است که شکل توزیع داده‌های کمیت وابسته، در هر کدام از گروه‌های کمیت مستقل، مشابه با یکدیگر باشد.

• Custom analysis

هنگامی که می‌خواهید تنظیمات آزمون را به صورت دستی در تب Settings اصلاح کنید، این گزینه را انتخاب کنید. انتخاب این گزینه به شما امکان می‌دهد تا کنترل دقیقی بر آزمون‌های انجام شده و گزینه‌های آنها داشته باشید. سایر آزمون‌های ناپارامتری موجود در برگه تنظیمات عبارتند از Kolmogorov-Smirnov، Moses extreme reaction، و Wald-Wolfowitz برای نمونه‌های دارای دو گروه مستقل و آزمون ناپارامتری Jonckheere-Terpstra برای نمونه‌های دارای k گروه. یک فاصله اطمینان اختیاری (براورد Hodges-Lehmann) نیز برای نمونه‌‌های با دو گروه مستقل موجود است. همه این موارد را می‌توانید در تب Settings مشاهده کنید.

با استفاده از گزینه‌های این تب، کمیت‌های وابسته و مستقل را وارد نرم‌افزار می‌کنیم.

در کادر Test Fields کمیت وابسته درصد موفقیت Success rate و در کادر Groups کمیت مستقل سیکل درمانی که با نام Cycle در داده‌ها تعریف شده است، قرار می‌گیرد.

در این تب می‌توانیم انواع آزمون‌های ناپارامتری قابل انجام برای نمونه‌های مستقل را مشاهده کنیم. هنگامی که در تب Objective گزینه Automatically compare distributions across groups را انتخاب می‌کنیم، در تب Settings نیز به صورت پیش‌فرض گزینه Automatically choose the tests based on the data فعال است.

همان‌گونه که قبلاً نیز گفتیم، انتخاب این گزینه سبب می‌شود که نرم‌افزار به صورت خودکار و بر مبنای تعداد گروه‌های مستقل، آزمون آماری ناپارامتری مناسب داده‌ها را برای ما انجام دهد.

با این حال انتخاب گزینه Customize tests باعث می‌شود، به دلخواه بتوانیم آزمون ناپارامتری مورد علاقه را انجام دهیم. در تصویر زیر این آزمون‌ها را ببینید.

آزمون‌های ناپارامتری بالا به دو دسته کلی آزمون‌های مربوط به دو نمونه مستقل و k نمونه مستقل، تقسیم می‌شوند. من در لینک (آزمون‌های ناپارامتری با دو نمونه مستقل) به بیان تحلیل‌های Two Samples پرداخته‌ام. علاقمند بودید ابتدا این لینک را ببینید.

بنابراین در ادامه به بیان آزمون‌های ناپارامتری از نوع k Samples می‌پردازم.

در این قسمت با آزمون‌های ناپارامتری دارای بیشتر از دو گروه مستقل، روبه‌رو هستیم. از آن‌جا که این مثال مربوط به آزمون‌های با چند گروه مستقل است، بنابراین می‌توانیم از آن استفاده کنیم.

آزمون کروسکال والیس تعمیم یافته ناپارامتری آزمون Mann-Whitney هنگامی که با بیشتر از دو گروه مستقل روبه‌رو هستیم و همچنین متناظر ناپارامتری آنالیز واریانس یک طرفه است. در این مسیر می‌توانیم با استفاده از کادر Multiple comparisons به مقایسه‌های متعدد گروه‌های مستقل با یکدیگر بپردازیم. در ادامه نتایج این آزمون آمده است.

این نتایج هما خروجی‌های قبلی است و مطلب جدیدی برای ما ندارد. نرم‌افزار همچنین یک نمودار جعبه‌ای Box Plot نیز برای ما رسم می‌کند. در شکل زیر آن را مشاهده می‌کنید. علاقمند بودید لینک (رسم نمودار جعبه ای Box Plot با استفاده از نرم‌افزار SPSS) را هم ببینید.

شاید شما هم با من هم نظر باشید که تا اینجا، خروجی‌های آزمون کروسکال والیس، همان قبلی‌ها است و چیز تازه‌ای نیست. با این حال یکی از دلایل استفاده از این مسیر، به دست آوردن جدول Pairwise Comparisons است. ابتدا جدول زیر را ببینید.

این جدول همانند Post Hoc در آنالیز واریانس یک طرفه رفتار می‌کند و به مقایسه دو به دو هر کدام از سیکل‌ها با یکدیگر می‌پردازد. همان‌گونه که در زیر جدول نوشته شده است، فرض صفر در هر آزمون همانند بودن توزیع داده‌ها در دو گروه مورد بررسی است.

نتیجه آزمون در دو ستون Sig که همان مقدار احتمال معناداری مجانبی دوطرفه با سطح 0.05 درصد و دیگری ستون Adj Sig است، گزارش شده است. در ستون Adj Sig مقادیر معناداری توسط تصحیح بونفرونی برای آزمون‌های چندگانه Bonferroni correction for multiple tests تنظیم شده است.

تصحیح بونفرونی برای کاهش شانس به دست آوردن نتایج مثبت کاذب (خطای نوع I) یعنی رد فرض صفر در صورتی که فرض صفر درست است، استفاده می‌شود. این کار به ویژه هنگامی که تعداد نمونه‌های مستقل و در نتیجه مقایسه‌های دوگانه زیاد باشد، توصیه می‌شود.

نحوه به دست آوردن عدد مقدار احتمال P value برای ستون Adj Sig نیز ساده است و از حاصلضرب عدد ستون Sig در تعداد آزمون‌های دوگانه (در این مثال 10 آزمون) به دست می‌آید. در مواردی نیز که عدد حاصلضرب بیشتر از 1 می‌شود، همان عدد یک گزارش می شود (احتمال بزرگتر از یک که نداریم!) در این زمینه به توضیحات بیشتری علاقمند بودید این لینک را ببینید.

نرم‌افزار SPSS بر مبنای نتایج جدول Pairwise Comparisons و ستون Adj Sig گراف زیر را برای ما رسم می‌کند.

گراف به دست آمده به خوبی، مقایسه‌های معنادار و غیرمعنادار را به ما نشان می‌دهد. به عنوان مثال این گراف نشان می‌دهد اختلاف درصد موفقیت بین سیکل‌های درمانی B و D معنادار است. یکی به عنوان کمترین درصد موفقیت (B) و دیگری به عنوان بیشترین درصد موفقیت (D). به این نکته هم دقت کنید که اعداد نوشته شده در زیر عنوان هر سیکل، همان میانگین رتبه Mean Rank برای سیکل می‌باشد.

این آزمون جایگزین مناسبی برای Kruskal-Wallis است هنگامی که k نمونه مستقل دارای ترتیب طبیعی هستند. در این زمینه لینک (آزمون ناپارامتری Jonckheere-Terpstra با نرم افزار SPSS) را مطالعه کنید.

به عنوان مثال، k نمونه ممکن است k دمای افزایشی را نشان دهند. فرض صفر در این آزمون این است که توزیع داده‌های کمیت وابسته در هر کدام از گروه‌های کمیت مستقل، با یکدیگر مشابه است. فرض جایگزین نیز این است که با افزایش دما (به عنوان مثال)، اندازه‌های عددی کمیت پاسخ نیز افزایش می‌یابد. در واقع فرض جایگزین به صورت ترتیبی است.

همان‌گونه که در گزینه‌های نرم‌افزار مشخص است، فرض جایگزین می‌تواند به حالت Smallest to largest باشد، که به معنای آن است که پارامتر مکان (مانند میانه) گروه اول کمتر یا مساوی با گروه دوم است و این گروه کمتر یا مساوی با گروه سوم است و به همین ترتیب.

چنانچه فرض جایگزین نیز بر روی گزینه Largest to smallest قرار بگیرد، به این معنا است که پارامتر مکان (مانند میانه) گروه اول بزرگتر یا مساوی با گروه دوم است و این گروه نیز بزرگتر یا مساوی با گروه سوم است و به همین ترتیب.

برای هر دو گزینه، فرضیه جایگزین بر این مبنا است که پارامترهای مکان گروه‌ها با هم برابر نیستند. همچنین در این آزمون نیز می‌توانیم با استفاده از کادر Multiple comparisons به مقایسه‌های متعدد گروه‌های مستقل با یکدیگر بپردازیم.

از این آزمون جهت بررسی همانند بودن میانه‌ها (k نمونه) استفاده می‌شود. Median Test می‌تواند از میانه نمونه تلفیقی Pooled sample median (محاسبه شده بر مبنای مجموعه داده) یا یک مقدار دلخواه به عنوان میانه فرضی استفاده کند.

همانند آزمون ناپارامتری قبلی، در در این آزمون نیز می‌توانیم با استفاده از کادر Multiple comparisons به مقایسه‌های متعدد گروه‌های مستقل با یکدیگر بپردازیم.

فرض کنید در این مثال می‌خواهیم به مقایسه میانه درصد موفقیت در هر کدام از سیکل‌های درمانی با یکدیگر بپردازیم. نتیجه در جدول زیر آمده است.

نتیجه به دست آمده بیانگر وجود اختلاف معنادار میانه درصد موفقیت در حداقل یکی از سیکل‌های درمانی با سیکل دیگر است. نمودار جعبه‌ای درصد موفقیت هر کدام از گروه‌ها در شکل زیر رسم شده است.

در گراف بالا، خط Grand Median که بیانگر میانه کل داده‌ها (بدون درنظر گرفتن نوع سیکل درمان) است و عدد آن برابر با 36.45% شده است، مشاهده می‌شود.

همانند آزمون کروسکال والیس، در اینجا نیز با استفاده از جدول Pairwise Comparisons به مقایسه دوبه‌دو میانه سیکل‌ها با یکدیگر می‌پردازیم. . ابتدا جدول زیر را ببینید.

این جدول همانند Post Hoc در آنالیز واریانس یک طرفه رفتار می‌کند و به مقایسه دو به دو هر کدام از سیکل‌ها با یکدیگر می‌پردازد. همان‌گونه که در زیر جدول نوشته شده است، فرض صفر در هر آزمون همانند بودن توزیع داده‌ها در دو گروه مورد بررسی است.

نتیجه آزمون در دو ستون Sig که همان مقدار احتمال معناداری مجانبی دوطرفه با سطح 0.05 درصد و دیگری ستون Adj Sig است، گزارش شده است. در ستون Adj Sig مقادیر معناداری توسط تصحیح بونفرونی برای آزمون‌های چندگانه Bonferroni correction for multiple tests تنظیم شده است.

نرم‌افزار SPSS بر مبنای نتایج جدول Pairwise Comparisons بالا و ستون Adj Sig گراف زیر را رسم می‌کند.

گراف به دست آمده به خوبی، مقایسه‌های معنادار و غیرمعنادار را به ما نشان می‌دهد. به عنوان مثال این گراف نشان می‌دهد میانه درصد موفقیت بین سیکل‌های درمانی B و E معنادار است. یکی به عنوان کمترین میانه درصد موفقیت (B) و دیگری به عنوان بیشترین میانه درصد موفقیت (E). به این نکته هم دقت کنید که اعداد نوشته شده در زیر عنوان هر سیکل، همان میانه سیکل می‌باشد.

در همان تب Settings و از بخش Test Options می‌توانیم به دلخواه خود سطح معناداری و فواصل اطمینان را قرار دهیم. نرم‌افزار SPSS به صورت پیش‌فرض این اعداد را به ترتیب 0.05 و 95.0 درصد قرار داده است.

چگونه به این مقاله رفرنس دهیم

GraphPad Statistics (2023). Kruskal-Wallis H Tests Non-parametric test with SPSS software. Statistical tutorial and software guides. Retrieved Month, Day, Year, from https://graphpad.ir/kruskal-wallis-spss/.php

For example, if you viewed this guide on 12^th January 2023, you would use the following reference

GraphPad Statistics (2023). Kruskal-Wallis H Test Non-parametric test with SPSS software. Statistical tutorials and software guides. Retrieved January, 12, 2023, from https://graphpad.ir/kruskal-wallis-spss/.php

ارایه خدمات تحلیل و مشاوره آماری

گراف پد برای شما خدمات مشاوره و انجام انواع تحلیل‌های آماری را ارایه می‌دهد. جهت دریافت نکات بیشتر بهتر است با ما تماس بگیرید.