آنالیز کوواریانس دو طرفه Two-way ANCOVA با SPSS

در مباحث آمار استنباطی مفهومی به نام آنالیز کوواریانس Analysis of Covariance یا همان ANCOVA وجود دارد که به حذف اثرات کمیت‌های مداخله گر Intervener Variables به منظور بیان نتایج با دقت بیشتر، می‌پردازد.

تحلیل کوواریانس دو طرفه یا Two-way ANCOVA هنگامی مورد استفاده قرار می‌گیرد که بخواهیم یک کمیت وابسته Dependent Variable را در بین گروه‌های مستقل بیش از یک فاکتور Factor، در حالی‌که در مطالعه کمیت مداخله‌گر کووریت Covariate داریم.

در شکل زیر می‌توانید نحوه طراحی و یک مثال از مدل آنالیز کوواریانس دو طرفه را مشاهده کنید.

 

در این مثال ما به دنبال بررسی تاثیر داروی متولازون در گروه‌های Case و Control و در بین زنان و مردان هستیم.

در این متن، تحلیل آنالیز کوواریانس دو طرفه با استفاده از نرم‌افزار SPSS و روش مدل خطی عام General Linear Model و یا همان GLM انجام خواهد شد.

طراحی مثال

 فایل مثال  و خروجی‌ها را می‌توانید از اینجا و با نام Two-way ANCOVA.sav دانلود کنید.

در تصویر زیر نیز توضیحاتی درباره فایل مثال آمده است.

 

همان‌گونه که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، می‌خواهیم فشار خون بعد از مصرف متولازون را که در اینجا Dependent Variable به حساب می‌آید، در بین فاکتورهای Therapy و Genus که به ترتیب بیانگر گروه درمانی و جنسیت هستند، مورد مقایسه قرار دهیم.

نکته مهم در این مطالعه این است که فشار خون افراد یکبار قبل از مصرف متولازون نیز اندازه‌گیری شده است. این کمیت به عنوان مداخله‌کننده و Covariate در مطالعه قرار می‌گیرد . به همین دلیل نام آن را آنالیز کوواریانس می‌گذاریم.

به نحوه ورود داده‌ها به نرم‌افزار SPSS دقت کنید. در یک ستون با نام Post، همه اعداد فشار خون بعد زیر هم نوشته می‌شود. Measure این ستون از نوع Scale است و همان‌گونه که بیان کردیم قرار است نقش Dependent Variable را بازی کند.

در ستون دیگر با نام Baseline فشار خون قبل افراد نوشته شده است. این ستون در جایگاه Covariate قرار می‌گیرد.

در ستون‌های دیگر که در این مثال با نام‌های Therapy و Genus هستند، به ازای هر درصد موفقیت، گروه درمانی و جنسیت آن آمده است. Measure این ستون‌ها می‌تواند از نوع Ordinal و یا Nominal باشد. این ستون‌ها نقش Factor را در یک مطالعه ANCOVA خواهتد داشت.

به این نکته توجه کنید که متولازون فقط در افراد گروه Case مصرف می‌شود.

حال بیایید به ارایه و انجام آنالیز کوواریانس دو طرفه Two-way ANCOVA با استفاده از روش General Linear Model بپردازیم.

 روش تحلیل 

General Linear Model , Univariate

مسیر انجام آنالیز واریانس هنگامی که می‌خواهیم از روش General Linear Model استفاده کنیم، به صورت زیر خواهد بود.

 مسیر نرم‌افزار 

Analyze → General Linear Model → Univariate

در شکل زیر مسیر و نحوه قرار گرفتن ستون داده‌ها در نرم‌افزار SPSS جهت انجام آنالیز کوواریانس دو طرفه با استفاده از پنجره Univariate و روش GLM آمده است.

 

 

همان‌گونه که در تصویر بالا می‌بینید با رفتن به این مسیر، پنجره با نام Univariate باز می‌شود. Post را در کادر Dependent Variable و Therapy و Genus را در کادر Fixed Factor قرار می‌دهیم. همچنین Baseline نیز در کادر Covariate قرار می‌گیرد.

خوب است در همین جا این نکته را بیان کنیم که به دلیل این‌که در کادر Fixed Factor ستون‌ها و Variableهای Therapy و Genus قرار گرفته‌اند، مطالعه ما دوطرفه Two-way می‌باشد. همچنین به دلیل این‌که در در کادر Covariate، کمیت و Variableای قرار داده‌ایم، مطالعه ما آنالیز کوواریانس خواهد بود.

در پنجره Univariate تب‌های مختلفی دیده می‌شود. در تب Plot می‌توانیم نمودار و گراف فشار خون بعد، به ازای هر کدام از فاکتورها را مشاهده کنیم.

 

در تب EM Means می‌توانیم میانگین‌های حاشیه‌ای به ازای هر کدام از گروه‌های Factor را به دست آوریم. با انتخاب گزینه Compare main effects این میانگین‌های حاشیه‌ای قابل مقایسه با همدیگر هستند.

 

به همین ترتیب در تب Options آماره‌های توصیفی، اندازه اثر effect size و توان power آزمون به همراه آزمون‌های همگنی واریانس‌ها را انتخاب می‌کنیم.

 

حال OK می‌کنیم. در فایل Output نرم‌افزار SPSS نتایج و خروجی‌های زیر به دست می‌آید. به ترتیب آن‌ها را بیان می‌کنیم.

Syntax

 برنامه‌نویسی 

استفاده از محیط برنامه‌نویسی و یا همان Syntax های نرم‌افزار SPSS جهت رسیدن به نتایج بیشتر و البته سرعت در کار تحلیل توصیه می شود. من در ادامه Syntax نرم‌افزار SPSS برای Run و اجرا کردن آنالیز کوواریانس دوطرفه را آورده‌ام.

 

 

به سادگی با استفاده از Syntax بالا در محیط برنامه‌نویسی نرم‌افزار SPSS، می‌توان نتایج آنالیز کوواریانس که در تنظیمات بالا از آن نام بردیم به همراه آزمون‌های مقایسه در بین اثرات متقابل که نرم‌افزار SPSS آن را به صورت پیش‌فرض به دست نمی‌دهد، به دست می‌آید.

در ادامه نتایج، به دست آمده پس از Run کردن Syntax را مشاهده می‌کنیم.

 

Output

 نتایج و خروجی‌های نرم‌افزار 

در ابتدا و در جدول Between-Subjects Factors اسامی گروه‌های هر کدام از Factor ها و تعداد هر گروه‌ بیان شده است.

 

به همین ترتیب در جدول زیر که حاصل انتخاب گزینه Descriptive Statistics از تب Options در تنظیمات تحلیل Univariate است، انواع آماره‌های توصیفی فشار خون بعد به ازای هر کدام از سیکل‌های درمانی و جنسیت آمده است.

 

همچنین در جدول Levene’s Test of Equality of Error Variances آزمون لوین به منظور بررسی همگن بودن واریانس باقیمانده‌های مدل، آمده است. نتیجه به دست آمده نشان می‌دهد واریانس خطاها، همگن است (P-value = 0.362).

 

به این کلمه مدل دقت کنید. یک سوال دقیق می‌تواند این باشد،

سوال

کدام مدل؟ مگر ما قصد مقایسه Dependent Variable در سطوح مختلف Factor ها را نداریم؟ خب، این موضوع یک مبحث مقایسه‌ای است و مدل یک موضوع رگرسیونی و ارتباط سنجی. این دو چه ارتباطی با هم دارند و چگونه می‌توان از یک بررسی مقایسه‌ای به مباحث مدل‌بندی و رگرسیونی رسید؟

موارد بالا سوالات بسیار دقیقی است و ما سعی می‌کنیم در ادامه به آن‌ها پاسخ دهیم.

حال بیایید به بررسی نتایج جدول مهم Tests of Between-Subjects Effects بپردازیم. در شکل زیر برخی از توضیحات جدول آمده است. در ادامه بیشتر به آن می‌پردازیم.

 

در جدول Tests of Between-Subjects Effects هنگامی که مطالعه ما Two way ANCOVA است، آزمون معناداری فاکتورها، اثرات اصلی آن‌ها Main Effect به همراه اثرات متقابل Interaction Effect فاکتورها و همچنین اثر Covariate بررسی می‌شود. در این مثال و از آن‌جا که ما به موضوع آنالیز کوواریانس دو طرفه پرداخته‌ایم، فاکتورهای Therapy و Genus به همراه اثر متقابل آن‌ها و Baseline وجود دارد. حال به ترتیب به بررسی هر کدام از فاکتورها و تاثیر آن بر Dependent Variable می‌پردازیم.

نتیجه به دست آمده از جدول Tests of Between-Subjects Effects بالا بیانگر وجود تاثیر معنادار کمیت مخدوش‌کننده یا همان Covariate بر Dependent Variable است (P-value = 0.002). این مطلب به معنای آن است که فشار خون قبل به صورت معنادار بر فشار خون بعد از مصرف متولازون اثرگذار است.

اندازه اثر این فاکتور بر Dependent Variable برابر با ۰.۰۸۵ به دست می‌آید. توضیح اینکه Partial Eta Squared عددی بین صفر تا یک است و مقادیر نزدیک به یک آن نشان‌دهنده تاثیر بیشتر آن فاکتور بر کمیت پاسخ است. این اندازه اثر چندان بالا به دست نیامده است.

فاکتور Therapy که بیانگر گروه‌های Case و Control بود نیز یک عامل اثرگذار و معنادار به دست می‌آید (P-value = 0.004). به معنای آن که فشار خون بعد در گروه‌های کیس و کنترل، به صورت معنادار متفاوت است.

اندازه اثر این فاکتور بر فشار خون بعد برابر با ۰.۰۷۳ به دست می‌آید.

به همین ترتیب نتیجه به دست آمده از جدول Tests of Between-Subjects Effects بالا بیانگر عدم وجود تاثیر معنادار فاکتور جنسیت بر فشار خون بعد است (P-value = 0.715). به معنای این که Dependent Variable در زن و مرد، با یکدیگر اختلاف معنادار ندارد.

اندازه اثر این فاکتور بر Dependent Variable برابر با ۰.۰۰۱ به دست می‌آید. این عدد بسیار پایین است و نشان‌دهنده تاثیر بسیار ضعیف Genus بر فشار خون بعد در این مطالعه است.

در واقع یک رابطه معکوس بین مقدار احتمال و اندازه تاثیر و یا همان Effect Size وجود دارد. به این ترتیب که اگر فاکتوری دارای مقدار احتمال اندک و معنادار باشد، اندازه تاثیر آن در مدل زیاد است و اگر مقدار احتمال بالا به دست بیاید یعنی وجود آن فاکتور در مدل معنادار نباشد، پس اندازه تاثیر پایین به دست می‌آید.

نرم‌افزار SPSS اثر متقابل بین Therapy و Genus را نیز بررسی می‌کند. نتیجه به دست آمده بیانگر عدم تاثیر معنادار این اثر متقابل بر Dependent Variable است (P-value = 0.621).

اندازه اثر این فاکتور متقابل بر Dependent Variable برابر با ۰.۰۰۲ به دست می‌آید. این میزان نیز اندک است و همان غیرمعنادار بودن اثر Therapy * Genus را نشان می‌دهد.

در پایین جدول نیز متنی به صورت R Squared = .180 (Adjusted R Squared = .149) دیده می‌شود. چنانچه با مباحث رگرسیونی آشنا باشید این همان ضریب تعیین R Squared مدل رگرسیونی است. عدد ضریب تعیین نشان می‌دهد مدل به دست آمده چقدر می‌تواند کمیت پاسخ را توضیح دهد.

در این مثال به معنای این‌که مدل شامل اثرات اصلی Therapy و Genus و اثر متقابل Therapy * Genus به همراه Baseline چقدر می‌تواند Dependent Variable و یا همان فشار خون بعد از مصرف متولازون را توضیح دهد؟

عدد ضریب تعیین برابر با ۰.۱۸۰ شده است. به معنای اینکه مدل می‌تواند فقط حدود ۱۸ درصد کمیت وابسته را براورد کند. این عدد به وضوح پایین است و عمده دلیل آن عدم معنادار بودن فاکتورهای Genus و اثر متقابل Therapy * Genus بر فشار خون بعد است.

مدل

 مدل آنالیز کوواریانس دوطرفه 

 

در بالا سوالی با عنوان کدام مدل؟ پرسیدیم و در اینجا داریم از مدل حرف می‌زنیم. خوب است حال به پاسخ این سوال بپردازیم و درباره مدل موجود در آنالیز کوواریانس دوطرفه هنگامی که از روش مدل خطی عام یعنی General Linear Model استفاده می‌کنیم، صحبت کنیم.

در ابتدا تصویر زیر را مشاهده کنید. در این تصویر مدل آماری Two-way ANCOVA هنگامی که از روش Univariate, GLM استفاده می‌کنیم، آمده است.

 

در واقع مدل خطی آنالیز واریانس دو طرفه به صورت زیر است.

y_ijk = µ +  B (x_{ijk –} x_mean) +  α_i  + ß_j  +  γ_ij + ε_ijk

در این مدل، همانند همه مدل‌های آماری دیگر می‌خواهیم با استفاده از کمیت‌های مستقل Independent Variable اندازه‌های کمیت وابسته Dependent Variable را به دست بیاوریم و میزان تاثیر کمیت‌های مستقل بر وابسته را مورد ارزیابی قرار دهیم.

در مدل بالا y همان کمیت وابسته Dependent Variable است که در این مثال فشار خون بعد بیان شده است. منظور از اندیس i گروه iام Factor آلفا و منظور از اندیس j گروه jام Factor بتا است.  همچنین منظور از اندیس k نفر kام مورد بررسی است. مثلاَ وقتی می‌نویسیم y_۱۲۵ یعنی فشار خون بعد نفر پنجم با گروه درمانی Case و گروه جنسی زنان.

حال بیایید به ترتیب اجزای این مدل خطی را در ادامه توضیح خواهیم داد.

همان‌گونه که در شکل بالا نشان داده شده است μ همان Intercept یا اثر ثابت مدل است. μ نشان‌دهنده این است که بدون در نظر گرفتن همه فاکتورهای مدل، فشار خون بعد چقدر خواهد بود. در جدول Tests of Between-Subjects Effects آزمون وجود اثر معنادار μ بر Dependent Variable انجام شده است (P-value < 0.001). اندازه اثر μ نیز گزارش شده است (۰.۳۹۴ = η²). 

در این مطالعه Baseline به عنوان Covariate وارد مدل شده است. نحوه ورود آن در مدل نیز به صورت تفاضل بین هر مشاهده Covariate (همان فشار خون قبل) با میانگین فشار خون قبل کل افراد است. همان‌گونه که قبلاَ نیز بیان کردیم این اثر بر روی Dependent Variable معنادار به دست آمده است (P-value = 0.002).

اما α_i چیست؟ α به معنای Factor مورد بررسی (در این مثال گروه درمان) در مدل خطی است. اندیس i هم بیانگر شماره و نوع سیکل درمان است. مثلاَ α_۰ یعنی گروه Control و یا α_۱ یعنی گروه Case.

در واقع در مدل خطی تحلیل کوواریانس دو طرفه، دو فاکتور خواهیم داشت. ما در این مدل به دنبال پاسخ به این سوال هستیم که آیا α و یا همان Factor گروه درمانی بر y یا همان کمیت وابسته Dependent Variable تاثیر معنادار دارد یا خیر.

به کلمه تاثیر دقت کنید. به طور معمول ما در آنالیز واریانس یا کوواریانس به دنبال مقایسه گروه‌های مختلف با یکدیگر هستیم. اما در روش General Linear Model می‌خواهیم به بررسی تاثیر Factor بر Dependent Variable بپردازیم.

این دو یعنی مقایسه گروه‌های Factor با یکدیگر و بررسی تاثیر Factor بر روی کمیت وابسته در روش GLM، در امتداد و راستای یکدیگر هستند. در واقع هنگامی که بررسی می‌کنیم آیا Factor بر y اثر معنادار دارد یا خیر، به معنای این مفهوم است که آیا رفتار و عملکرد گروه‌های مختلف Factor در بررسی y با یکدیگر متفاوت است یا خیر.

به همین دلیل است که ANCOVA در یک جا به مفهوم مقایسه بین گروه‌های Factor با یکدیگر و در جای دیگر به معنای بررسی وجود تاثیر گروه‌ها بر کمیت وابسته است. چنانچه وجود این تاثیر، تایید شود به معنای این است که رفتار گروه‌ها با یکدیگر متفاوت بوده و اگر وجود تاثیر، تایید نشود به معنای این است که رفتار گروه‌ها با همدیگر همانند است.

نتیجه‌ای که از بررسی فاکتور گروه‌های درمانی به دست می‌آید این است که α یعنی نوع درمان، یک عامل اثرگزار معنادار بر فشار خون بعد است (P-value = 0.004). به عبارت دیگر بین Case و Control، فشار خون بعد، متفاوت خواهد بود. اندازه اثر α نیز مقدار برابر با (۰.۰۷۳ = η²) گزارش شده است.

از آن‌جا که مدل ما آنالیز واریانس دو طرفه است، بنابراین دو فاکتور در مطالعه داریم. β بیانگر فاکتور دیگر مورد بررسی در مدل خطی یعنی همان جنسیت است. اندیس j هم نشان‌دهنده شماره گروه جنسی است. مثلاَ β_۱ یعنی مردان و β_۲ یعنی زنان.

ما در این مدل به دنبال پاسخ به این سوال هستیم که آیا β و یا همان Factor جنسیت بر y کمیت وابسته Dependent Variable تاثیر معنادار دارد یا خیر.

در این مثال نتیجه‌ای که از بررسی فاکتور جنسیت به دست می‌آید این است که β، یک عامل اثرگزار معنادار بر هشار خون بعد نیست (P-value = 0.715). به معنای اینکه بین زنان و مردان، فشار خون بعد، مشابه است. اندازه اثر β نیز بسیار اندک و برابر با (۰.۰۰۱ = η²) به دست آمده است.

همان‌گونه که گفتیم مدل ما آنالیز واریانس دو طرفه است، بنابراین می‌توانیم علاوه بر دو فاکتور اصلی α و β، اثر متقابل آن‌ها را که به صورت γ تعریف می‌شود را نیز در مدل خطی داشته باشیم. همان‌گونه که قبلاَ گفتیم اندیس i نوع گروه درمان و اندیس j جنسیت را نشان می‌دهد. مثلاَ γ_۱۱ یعنی گروه Case و گروه جنسی مردان.

همانند بخش‌هایی قبلی ما در این مدل نیز به دنبال پاسخ به این سوال هستیم که آیا اثر توام و متقابل فاکتورهای α و β بر y کمیت وابسته Dependent Variable تاثیر معنادار دارد یا خیر.

در این مثال نتیجه‌ای که از بررسی فاکتور اثر متقابل درمان و جنسیت به دست می‌آید این است که γ، یک عامل اثرگزار معنادار بر فشار خون بعد نیست (P-value = 0.621). به معنای اینکه بین رده‌های مختلف درمان و گروه‌های جنسی، فشار خون بعد مشابه است. اندازه اثر γ نیز برابر با (۰.۰۰۲ = η²) به دست آمده است.

مدل GLM همانند هر مدل آماری دیگری دارای خطا و باقیمانده است. در ε_ijk بخش خطا بیان شده است. در جدول Tests of Between-Subjects Effects نتایج این بخش با نام Error قرار می‌گیرد. همان‌گونه که قبلاَ نیز گفتیم منظور از اندیس k نفر kام مورد بررسی است.

سطرهای دیگری نیز در جدول Tests of Between-Subjects Effects دیده می‌شود. در تصویر زیر درباره ارتباط بین این سطرها با مدل آماری GLM صحبت خواهیم کرد.

 

 

سطر Corrected Model یا مدل اصلاح‌شده، به فاکنورهای موجود در مدل اشاره می‌کند. از آن‌جا که این مثال ما آنالیز کوواریانس دو طرفه است، دو فاکتور داشتیم که با نام Therapy و Genus در داده‌ها نام‌گزاری شده بود و در مدل با علامت‌های α_i و β_j آن‌ها را نشان دادیم. به همین ترتیب فاکتور اثر متقابل آن‌ها یعنی γ_ij نیز در مدل وجود داشت.

اگر در جدول Tests of Between-Subjects Effects دقت کنید، مقدار همه آماره‌های Corrected Model مانند مجموع و میانگین مربعات، درجه آزادی، مقدار احتمال، اندازه اثر و توان، نوشته شده است. Sig مربوط به این سطر، آزمون کرده است که آیا مدل شامل β ،α و γ معنادار است یا خیر. نتیجه به دست آمده بیانگر معنادار بودن مدل خطی آنالیز کوواریانس دو طرفه است (P-value < 0.001). اندازه اثر مدل نیز در حالت کلی برابر با (۰.۱۸۰ = η²) گزارش شده است.

مجموع Corrected Model (فاکتورهای β ،α و γ ) و جمله خطا ε_ijk با نام Corrected Total نامیده می‌شود. چنانچه مجموع مربعات آنها را با هم جمع کتید به همان عدد مجموع مربعات Corrected Total می‌رسید.

سطر Total نیز به وضوح به مجموع Corrected Total (که خودش مجموع Corrected Model و Error بود) و Intercept اشاره می‌کند. در واقع مجموع مربعات Total ترکیب مجموع مربعات همه اجزای مدل شامل، اثر ثابت با نام μ، فاکتورهای موجود در مدل که در این مثال α_i و β_j به همراه γ_ij بود و جمله خطا با نام ε_ik است.

به همین ترتیب R Squared یا ضریب تعیین که آن را میزان توضیح مدل توسط فاکتورها می‌نامیم، به صورت Corrected Model تقسیم بر Corrected Total تعریف می‌کنیم. واضح است هر چقدر R Squared بیشتر باشد به معنای توضیح بهتر و بیشتر کمیت وابسته Dependent Variable (در این مثال فشار خون بعد) توسط فاکتورهای مدل است. برای بیشتر بودن ضریب تعیین باید جمله خطا و یا همان Error که در محرج فرمول ضریب تعیین قرار می‌گیرد، کمتر باشد.

 

میانگین‌های حاشیه‌ای

 EM Means 

تا اینجا سعی کردم درباره تمام اجزا و محتویات جدول Tests of Between-Subjects Effects به دلیل اهمیت آن بپردازم. در ادامه درباره سایر خروجی‌های نرم‌افزار در تحلیل Two-way ANCOVA (Univariate, GLM) صحبت می‌کنیم.

خاطرتان باشد در تنظیمات نرم‌افزار و در تب EM Means به دنبال آن بودیم که میانگین‌های حاشیه‌ای هر کدام از گروه‌های Factor را برحسب گروه‌های Factor دیگر به دست آوریم. همچنین با انتخاب گزینه Compare main effects میانگین‌های حاشیه‌ای گروه‌ها را با یکدیگر مقایسه کنیم. منظور از حاشیه‌ای نیز این است که آماره‌های توصیفی یک Factor را برحسب Factor دیگر به دست بیاوریم.

حال در ادامه خروجی‌های نرم‌افزار، نتایج مربوط به تنظیمات تب EM Means آمده است.

ما به منظور به دست آوردن مقایسه‌های چندگانه اثرات متقابل نیز از Syntax های نرم‌افزار SPSS و محیط برنامه‌نویسی آن استفاده کردیم.

 

در این جدول آماره‌های توصیفی حاشیه‌ای Marginal مانند میانگین، خطای معیار و فواصل اطمینان ۹۵٪ برای فشار خون بعد به ازای هر کدام از گروه‌های درمانی Case و Control آمده است. سوالی که اینجا مطرح می‌شود این است که این میانگین‌ها چگونه محاسبه می‌شوند؟ نقش فاکتور دیگر یعنی جنسیت در محاسبه میانگین‌های حاشیه‌ای هر کدام چیست؟ برای یافتن پاسخ این سوال‌ها، اسلاید زیر را ببینید.

 

 

همان‌گونه که در جدول سمت راست اسلاید بالا می‌بینید، میانگین واقعی و مشاهده شده فشار خون بعد برای گروه کنترل برابر با ۱۴۷.۸۸ است. این عدد بدون درنظر گرفتن فاکتور دیگر یعنی جنسیت به دست آمده است.

حال به جدول سمت چپ اسلاید بالا نگاه کنید. میانگین حاشیه‌ای فشار خون بعد برای گروه کنترل برابر با عدد ۱۴۷.۸۸ به دست آمده است. سوال این است که این عدد چگونه به دست می‌آید. برای پاسخ به این سوال به فرمول نوشته شده در تصویر بالا نگاه کنید.

همان‌گونه که می‌بینید، میانگین حاشیه‌ای فشار خون بعد برای گروه کنترل در واقع میانگین وزنی به ازای هر کدام از گروه‌های جنسی است. به بیان ساده اینکه نرم‌افزار نگاه می‌کند چند نفر از افراد گروه کنترل مرد بوده‌اند و میانگین فشار خون بعد آن‌ها چقدر است؟ به همین ترتیب چند نفر از افراد گروه کنترل رن بوده‌اند و میانگین فشار خون بعد آن‌ها چقدر است؟

از حاصل‌ضرب تعداد در میانگین به ازای هر کدام از گروه‌های جنسی و سپس تقسیم نتیجه یر تعداد کل افرادی که در گروه کنترل بوده‌اند (۵۶ نفر)، میانگین حاشیه‌ای گروه کنترل به دست می‌آید. همین فرایند برای محاسبه میانگین حاشیه‌ای گروه Case نیز انجام می‌شود.

با این نرنیب به ازای هر کدام از گروه‌های درمانی عدد Marginal Mean برای فشار خون بعد به دست می‌آید.

نکته

در پایین جدول Estimated Marginal Means میانگین حسابی کووریت (فشار خون قبل) نوشته شده است. این عدد برابر با ۱۴۴.۸۹ شده است. به معنای این‌که صرفنظر از Case و Control و زن و مرد بودن میانگین فشار خون قبل همه افراد مطالعه برابر با ۱۴۴.۸۹ شده است.

یادتان باشد در تب EM Means با انتخاب گزینه Compare main effects از نرم‌افزار خواستیم که میانگین‌های حاشیه‌ای گروه‌های هر کدام از فاکتورها را نیز با یکدیگر مقایسه کند. این کار با استفاده از آزمون LSD انجام شده است. نتایج آن را می‌توانید در شکل زیر مشاهده کنید.

 

در جدول Pairwise Comparisons بالا به مقایسه دو به دو میانگین‌های حاشیه‌ای Case و Control با یکدیگر پرداخته است، نتیجه به دست آمده بیانگر وجود اختلاف معنادار در بین آن‌ها است (P-value = 0.004).

در ادامه خروجی‌های نرم‌افزار جدول دیگری با نام Univariate Tests دیده می‌شود.

 

در این جدول دو سطر با نام‌های Contrast و Error وجود دارد. منظور از Error همان جمله خطا در مدل خطی آنالیز کوواریانس دو طرفه است که در متن‌های بالاتر به آن اشاره شد. چنانچه دقت کتید آماره‌های مربوط به این سطر دقیقاَ برابر با آماره‌های سطر Error در جدول Tests of Between-Subjects Effects است.

سطر Contrast نیز به فاکتورهای موجود در مدل خطی اشاره می‌کند. از آنجا که در حال بررسی میانگین‌های حاشیه‌ای فاکتور Therapy هستیم، بنابراین آماره‌ها و نتایج مربوط به Contrast دقیقاَ برابر با نتایج سطر Therapy در جدول Tests of Between-Subjects Effects است. در بالا نیز درباره این نتایج و معنادار بودن یا نبودن آن‌ها صحبت کردیم که بار دیگر تکرار نمی‌کنیم.

تمام مطالبی که در بالا و برای میانگین‌های حاشیه‌ای فاکتور Therapy بیان کردیم، برای فاکتور دیگر مطالعه یعنی Genus نیز در خروجی‌های نرم‌افزار SPSS آمده است.

در ادامه به بررسی میانگین‌های حاشیه‌ای فاکتور Genus می‌پردازیم.

 

در این جدول آماره‌های توصیفی حاشیه‌ای Marginal مانند میانگین، خطای معیار و فواصل اطمینان ۹۵٪ برای فشار خون بعد به ازای هر کدام از گروه‌های جنسی آمده است. در بخش قبل درباره نحوه به دست آوردن میانگین‌های حاشیه‌ای صحبت کردیم. در این‌جا فقط به این نکته اشاره می‌کنیم که میانگین‌های بالا بدون در نظرگرفتن فاکتور دیگر یعنی گروه‌های درمانی برای فشار خون بعد به دست می‌آید.

نکته

در تب EM Means با انتخاب گزینه Compare main effects از نرم‌افزار خواستیم که میانگین‌های حاشیه‌ای گروه‌های هر کدام از فاکتورها را نیز با یکدیگر مقایسه کند. این کار با استفاده از آزمون LSD انجام شده است. نتایج آن را می‌توانید در شکل زیر مشاهده کنید.

 

در جدول Pairwise Comparisons بالا به مقایسه دو به دو میانگین‌های حاشیه‌ای Man و Woman با یکدیگر پرداخته است، نتیجه به دست آمده بیانگر عدم اختلاف معنادار در بین آن‌ها است (P-value = 0.715).

در ادامه خروجی‌های نرم‌افزار جدول دیگری با نام Univariate Tests دیده می‌شود.

 

در این جدول دو سطر با نام‌های Contrast و Error وجود دارد. منظور از Error همان جمله خطا در مدل خطی آنالیز کوواریانس دو طرفه است که در متن‌های بالاتر به آن اشاره شد. چنانچه دقت کتید آماره‌های مربوط به این سطر دقیقاَ برابر با آماره‌های سطر Error در جدول Tests of Between-Subjects Effects است.

سطر Contrast نیز به فاکتورهای موجود در مدل خطی اشاره می‌کند. از آنجا که در حال بررسی میانگین‌های حاشیه‌ای فاکتور Genus هستیم، بنابراین آماره‌ها و نتایج مربوط به Contrast دقیقاَ برابر با نتایج سطر Genus در جدول Tests of Between-Subjects Effects است. در بالا نیز درباره این نتایج و معنادار بودن یا نبودن آن‌ها صحبت کردیم که بار دیگر تکرار نمی‌کنیم.

در پایان بخش Estimated Marginal Means جدول توافقی جنسیت و گروه‌های درمانی شامل آماره‌های توصیفی میانگین، انحراف معیار از میانگین و فواصل اطمینان، آمده است. این جدول را می‌توانید در ادامه مشاهده کنید.

 

استفاده از Syntax و نوشتن خط شماره 7 در متن زیر سبب می‌شود که آزمون مقایسه‌های چندگانه اثرات متقابل نیز برای ما به دست بیاید.

 

در واقع ما می‌توانیم بر مبنای هر کدام از گروه‌های جنسی به مقایسه Case و Control بپردازیم.

در جدول زیر این نتایج آمده است.

 

بر مبنای نتایج جدول بالا به دست می‌آوریم که اختلاف بین گروه‌های درمانی Case و Control در مردان رخ داده است (P-value = 0.016) اما در زنان و در سطح معنی‌داری پنج درصد اختلافی بین Case و Control دیده نمی‌شود (P-value = 0.086).

در پایان خروجی‌های نرم‌افزار SPSS می‌توانید، نمودارها و گراف‌ها را مشاهده کنید. به یاد داشته باشید ما در تنظیمات انجام تحلیل Two-way ANCOVA و در تب Plot از نرم‌افزار خواستیم نمودارهای خطی از فشار خون بعد برای هر کدام از فاکتورها و همچنین اثرمتقابل آن‌ها برای ما رسم کند. نتیجه را می‌توانید در زیر ببینید.

به این نکته توجه کنید که این نمودارها براساس میانگین‌های حاشیه‌ای که در بخش‌های بالاتر به آن‌ها اشاره کردیم، رسم شده است.

 

همان‌گونه که در گراف بالا می‌بینید نمودار خطی فشار خون برای هر کدام از گروه‌های درمانی آمده است. در بخش‌های بالاتر اشاره کردیم که بین این گروه‌ها اختلاف معنادار دیده می‌شود (P-value = 0.004).

در شکل زیر نمودار فشار خون بعد به ازای هر کدام از گزوه‌های جنسی آمده است.

 

همان‌گونه که در این گراف دیده می‌شود، فشار خون بعد، مردان و زنان تقریباَ مشابه با یکدیگر است. ما در جدول Tests of Between-Subjects Effects نیز نشان دادیم که Genus یک فاکتور اثرگزار نیست.

به همین ترتیب در شکل زیر نمودار اثر متقاطع درمان و جنسیت آمده است.

 

نکته‌ای که در این گراف وجود دارد و در جدول Pairwise Comparisons اثر متقابل گروه‌های درمانی و جنسی نیز مشاهده کردیم، تنها در مردان بین گروه‌های Case و Control اختلاف معنادار وجود دارد و در زنان (البته در سطح پنج درصد) بین گروه‌های آزمایش و کنترل، اختلاف معناداری مشاهده نمی‌شود.

خب، این هم از توضیحات روش آنالیز کوواریانس دو طرفه که با استفاده از روش General Linear Model , Univariate در نرم افزار SPSS به آن پرداختیم.

چگونه به این مقاله رفرنس دهیم

GraphPad Statistics (2020). Two-way ANCOVA analysis with SPSS. Statistical tutorials and software guides. Retrieved Month, Day, Year, from https://graphpad.ir/general-linear-models-univariate-two-way-ancova-spss/.php

For example, if you viewed this guide on 12^th January 2022, you would use the following reference

GraphPad Statistics (2020). Two-way ANCOVA analysis with SPSS. Statistical tutorials and software guides. Retrieved January, 12, 2022, fromhttps://graphpad.ir/general-linear-models-univariate-two-way-ancova-spss/ .php

ارایه خدمات تحلیل و مشاوره آماری

گراف پد برای شما خدمات مشاوره و انجام انواع تحلیل‌های آماری را ارایه می‌دهد. جهت دریافت نکات بیشتر بهتر است با ما تماس بگیرید.